Текстовый вариант экзаменационного задания по математике

1. Если Билл беднее Джека на 20%, то Джек богаче Билла на

1) 20%

2) 22,5%

3) 16,(6)%

4) 25%

5) 10%

2. Если трехзначное число в десятичной записи 8x7 делится без остатка на 9, то цифра x равна

1) 9

2) 2

3) 1

4) 5

5) 3

3. Если x^2/3 - x^-2/3 = 3, то значение выражения x^4/3 + x^-4/3 равно

1) 9

2) 11

3) 7

4) 5

5) 13

4. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении значения папаметра a,

при котором прямая y = ax + 5 касается графика функции y = -

1

x

1) 3

2) 5

3) 1

4) 2

5) 4

5. Найдите все значения параметра p, при которых система уравнений

	2x + 3y = 6
	3x + py = 2p

имеет бесконечное множество решений

1) p = 2

2) p = 4,5

3) p = 3

4) p = -2

5) таких значений нет

6. Сумма S всех различных корней уравнения sin(2x) + 2 cosx = 0, расположенных на промежутке x

(0, 2p), удовлетворяет условию

1) 0 < S

p

2) p < S

1,5p

3) 1,5p < S

2p

4) 2p < S

2,5p

5) 2,5p < S

999

7. Приведенное квадратное уравнение, корни которого а два раза больше корней уравнения x² - 5x + 2 имеет вид x² - bx + c = 0, причем значение величины b + c равно

1) 12

2) 14

3) 16

4) 18

5) 20

8. Если второй член геометрической прогрессии равен 2, а шестой член равен 32, то пятый член равен

1) 1

2)

8

3) -16

4)

4

5)

16

9. Сколько решений имеет система

	y = \|x\|
	x² + (y - 1)² = 1

1) одно

2) два

3) три

4) четыре

5) решений нет

10. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 200 у.е., процентная ставка составляет 10% в год, доход по вкладу вычисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько у.е. возрастет величина вклада за второй год хранения, если годовая процентная ставка за этот период не менялась?

1) 22

2) 20

3) 40

4) 21

5) 44

11. Сумма всех различных значений координаты x, в которых касательная к графику функции y = 9x² - 8x³ горизонтальна, равна

1)

2

3

2)

1

3

3)

3

2

4)

4

3

5)

3

4

12. Пятнадцатый член арифметической прогрессии равен 11, а сумма первых пятнадцати членов этой прогрессии равна 105. Первый член этой прогрессии равен

1) 2

2) 7

3) 3

4) 5

5) 4

13 Наибольшее значение функции y =


	-x² + 10x - 21

равно

1) 2

2) 2,5

3) 3

4) 3,5

5) 4

14. Если площадь прямоугольного треугольника равна 8 см², а длина одного из катетов равна 5 см, то меньший острый угол прямоугольного треугольника равен

1) arctg(0,32)

2) arctg(0,64)

3) arctg(0,48)

4) arctg(0,56)

5) arctg(0,72)

15. Сумма всех различных значений параметра b, при которых уравнение x² + (b + 3)x + 2,25b + 5 = 0 имеет единственный корень, равна

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 5

16. Укажите значение параметра k , при котором уравнение ||x - 4| - 2| = kx имеет ровно три различных корня

1)

1

2

2)

1

4

3) 2

4)

3

4

5) таких значений не существует

17. Значение выражения

lg 16

lg 27

log₂ 3 равно

1)

3

4

2)

5

3

3)

4

3

4)

4

5

5)

8

3

18. Сумма всех целых значений x, для которых


	15 + 2x - x²

2 - x

< 0, равна

1) 8

2) 11

3) 9

4) 7

5) -2

19. Сколько целых чисел являются решениями неравенства log_0,5 x > -2 ?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4 или больше четырех

5) ни одного

20. Скорость течения реки составляет 3 км/час. Пароход походит расстояние 36 км вниз по течению на 1 час быстрее, чем то же расстояние вверх против течения. Скорость парохода в стоячей воде, выраженная в км/час, равна

1) 12

2) 10

3) 15

4) 18

5) 9

21. Сколько различных корней имеет уравнение |x² - 6|x| + 5| = 1 ?

1) три

2) четыре

3) корней нет

4) шесть

5) восемь

22. Все значения параметра a, при которых все числа x

[-3; 1] являются решениями неравенства x + a

4, образуют множество

1) a

(-

; 7]

2) a

(-

; 3]

3) a

[3; +

)

4) a

[7; +

)

5) a

[3; 7]

23. В треугольнике биссектрисса угла, образованного сторонами AB = 16 и AC = 20 рассекает сторону BC на отрезки, меньший из которых имеет длину 12. Длина большего из этих отрезков равна

1) 14

2) 18

3) 20

4) 16

5) 15

24. Все решения неравенства arccos(x)

p

3

образуют промежуток, длина которого равна

1) 1 -


	3

2

2) 1 +


	3

2

3)


	3

2

4)

5p

6

5)

3

2

25. Если прямая касается параболы y = x² + 9 в точке с абсциссой x = 6, то эта прямая пересекает ось абсцисс в точке, абсцисса x которой удовлетворяет условию

1) -999 < x

1

2) 1 < x

2,25

3) 2,25 < x

2,5

4) 2,5 < x

2,75

5) 2,75 < x < 999

26. Площадь конечной фигуры, ограниченной линиями y = |x - 2| и y = 6 - |x|, равна

1) 8

2) 18

3) 12

4) 10

5) 16

27. Все решения уравнения 2 cos²x + 3


	3

sinx = 5

образуют множество(m

Z)

1) x = (-1)^m

p

3

+ pm

2) x =

p

3

+ 2pm

3) x = (-1)^m

p

3

+ pm; x = (-1)^m+1

p

6

+ pm

4) x = (-1)^m

p

6

+ pm

5) x =

p

6

+ 2pm

28. Производительность труда возросла на 25%, поэтому работа была выполнена на 24 дня быстрее. Если после этого производительность увеличится еще на 20%, то работа буудет выполнена быстрее еще на

1) 18 дней

2) 20 дней

3) 15 дней

4) 16 дней

5) 12 дней

29. Если A - число, равное произведению всех различных корней уравнения (log₃ x)² - 2 log₃ x - 5 = 0, то |A| является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

30. В результате опроса 44 жителей Москвы выяснилось, что 26 опрошенных посещают кинотеатры, 19 посещают стадионы, 18 посещают и кинотеатры, и стадионы. Сколько человек из числа опрошенных не посещают ни кинотеатры, ни стадионы? Укажите остаток от деления этого числа на 5

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

1. Вчера цена моркови и картофеля была одинакова, сегодня морковь стала дороже на 110%, а картофель стал дороже на 50%. На сколько процентов теперь морковь дороже картофеля?

1) 60%

2) 30%

3) 50%

4) 20%

5) 40%

2. Сумма всех различных корней уравнения x -

16

x

= 22 - целое число, остаток от деления которого на 5 равен

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

3. Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, координаты всех

точек которого удовлетворяют системе неравенств

	\|x - 2\| 4
	\|x - 4\| 6

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 5

4. Если a_n - арифметическая прогрессия, a₁ + a₆ + a₈ = 30, то значение выражения a₃ + a₇ - целое число, остаток от деления которого на 5 равен

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

5. Если x = 16 и y = 9, то число, равное значению выражения

x +


	xy

+ y

x


	x

- y


	y

+

x -


	xy

+ y

x


	x

+ y


	y

,

в десятичном представлении содержит на первом месте после запятой цифру:

1) 8

2) 1

3) 2

4) 9

5) 3

6. Наименьший положительный корень уравнения cos 2x = 3cos x - 3sin x расположен на промежутке

1) x

0;

p

6

2) x

p

6

;

p

3

3) x

p

3

;

p

2

4) x

p

2

;

2p

3

5) x

2p

3

; 2p

7. Если число

23

33

преобразовать в десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после запятой будет равна:

1) 12

2) 6

3) 15

4) 17

5) 9

8. При каком значении параметра t три точки M, N, K на плоскости (x; y) с координатами (0; 0), (1; 2), (5; 3t - 2) лежат на одной прямой?

1) t = 1

2) t = 2

3) t = 3

4) t = 4

5) t = 5

9. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все точки которого

являются решениями неравенства

-

1


	3

tg x

1

равна:

1)

p

4

2)

p

3

3)

5p

12

4)

7p

12

5)

p

2

10. Найдите все значения параметра m, при которых система уравнений

	3x + (m - 1)y = m + 2
	(m + 1)x + 5y = 10

имеет бесконечно много решений

1) существует ровно два таких значения m

2) таких значений параметра m не существует

3) существует ровно одно такое значение m, причем m > 0

4) таких значений m бесконечно много

5) существует ровно одно такое значение m, причем m < 0

11. Все значения параметра a, при которых система уравнений

	x² + y² = 10
	y = 3x - a

имеет ровно два различных решения, образуют множество

1) a

( -


	20

;


	20

)

2) a

(- 5; 5)

3) a

( -


	5

;


	5

)

4) a

(-10; 10)

5) a

( -


	10

;


	10

)

12. Если гипербола y =

b

4x

и прямая y = 18 - 27x имеют единственную общую точку,

то b - целое число, остаток от деления которого на 5 равен

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

13. Разность наибольшего и наименьшего значений функции y = sin²x - 2


	cos²x

равна:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 5

14. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Основания AD и BC равны соответственно 15 и 5 см, диагональ BD равна 12 см. Найдите длину отрезка BO.

1) 3

2) 4

3) 3,37

4) 2,25

5) 5

15. Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе, равном сумме

бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 +

1

6

+

1

6²

+

1

6³

+...

1) 5

2) 7

3) 3

4) 8

5) 2

16. Сколько целых чисел не являются решениями неравенства log₂(x² - 8x + 13)

0 ?

1) ни одного или одно

2) два

3) три

4) четыре

5) пять или больше пяти

17. Касательная к параболе y =

x²

2

, проведенная через точку этой параболы

с координатой x = 5 пересекает ось абсцисс в точке, координата x которой принадлежит промежутку

1) x

(-999; 0,5]

2) x

(0,5; 1]

3) x

(1; 1,5]

4) x

(1,5; 2]

5) x

(2; 999)

18. Значение выражения (log₂ 27)

(log₃ 49)

(log₇ 64) - целое число, остаток от деления которого на 5 равен:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

19. Площадь фигуры |x - 1| + |x + 1|

y

10 равна:

1) 50

2) 64

3) 52

4) 45

5) 48

20. Наименьшее значение функции y = (log₅ x)

(log₅(625x)) + 17 - целое число, остаток от деления которого на 5 равен:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

21. В треугольнике ABC известны длины сторон |AC| = 5, |AB| = 3 и угол

A = arccos(-0,6). Тогда величина |BC|², т.е. квадрат длины стороны BC, - целое число, остаток от деления которого на 5 равен:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

22. Произведение всех различных корней уравнения log₄ x - 7log_x 16 = 3 - целое число, остаток от деления которого на 5 равен:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

23. Если П - произведение всех различных корней уравнения x² - 4x + 8 = 5


	x² - 4x + 2

_,

то П - целое число и остаток от деления числа П на 5 равен

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

24. Если значение параметра k таково, что уравнение x = kx³ + 5 имеет ровно два различных корня, то больший из корней равен

1) 7,5

2) 5

3) 5,5

4) 8

5) 12,5

25. За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 7 домов. Если Билл повысит свою производительность на 100%, то за 6 дней совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов построят они за 12 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 100%?

1) 18

2) 20

3) 16

4) 14

5) 15

26. Найдите значение параметра b, при котором парабола y = 4x² и линия y = 2


	b

|x| - 3

имеют ровно две общих точки и укажите остаток от деления целой части этого значения b на 5:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

27. Три положительных числа являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее из них увеличить в два раза, то они станут последовательными членами арифметической прогрессии. Число q, равное знаменателю исходной геометрической прогрессии, принадлежит промежутку

1) q

(1; 4)

2) q

[4; 5)

3) q

[5; 6)

4) q

[6; 7)

5) q

[7; 999)

28. Множество всех решений неравенства 5

2

(log₂²x)

x³ + x

log₂x

представляет собой промежуток, длина которого равна:

1) 1

2) 2

3) 4

4) 8

5) 6

29. Сколько различных корней имеет уравнение |x

(5 - |x|)| = 4

1) три корня

2) четыре корня

3) корней нет

4) шесть корней

5) два корня

30. Множество всех решений неравенства arcsin(arcsin x) +

p

6

0

является промежутком, длина которого равна:

1) sin(1) - sin(0,5)

2) 1 + sin(0,5)

3) 1,5

4) 1 - sin(0,5)

5) sin(1) + sin(0,5)

1. Если точки М1, М2, М3 на плоскости (x; y) с координатами (0; 0), (1; 2), (2t - 6; 3t - 7) лежат на одной прямой, то

1) t = 1

2) t = 2

3) t = 3

4) t = 4

5) t = 5

2. Сосна на 25% выше елки. Если каждое дерево подрастет на 18 метров, то сосна будет на 10% выше елки. Первоначальная высота елки (в метрах) - целое число, остаток от деления которого на 5 равен:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

3. Сумма всех различных корней уравнения

3

x³

-

36

x²

+

4

x

= 0 - целое число.

Найдите остаток от деления этого числа на 5:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

4. Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, координаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств

	\|x - 1\| 5
	\|x - 4\| 8

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 6

5. Если a_n - арифметическая прогрессия, a₂ + a₅ + a₁₁ = 24, то значение выражения a₇ + a₅ - целое число, остаток от деления которого на 5 равен:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

6. Если x = 9 и y = 4, то число, равное значению выражения

x +


	xy

+ y

x


	x

- y


	y

+

x -


	xy

+ y

x


	x

+ y


	y

,

в десятичном представлении содержит на первом месте после запятой цифру:

1) 3

2) 2

3) 5

4) 8

5) 1

7. Наименьший положительный корень уравнения cos 2x = 4cos x + 4sin x расположен на промежутке

1) x

0;

p

4

2) x

p

4

;

p

2

3) x

p

2

;

3p

4

4) x

3p

4

; p

5) x

(p; 2p]

8. Один из корней уравнения x - 5 =


	x + 7

- целое число.

Найдите остаток от деления этого числа на 5:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

9. Если число

23

33

преобразовать в десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после запятой будет равна:

1) 12

2) 6

3) 15

4) 17

5) 9

10. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все точки которого

являются решениями неравенства

-

1


	3

tg x

1

равна:

1)

p

4

2)

p

3

3)

5p

12

4)

7p

12

5)

p

2

11. Найдите все значения параметра m, при которых система уравнений

	3x + (m + 1)y = 3
	(m - 1)x + 5y = m - 1

имеет бесконечно много решений

1) существует ровно одно такое значение m, причем m < 0

2) существует ровно одно такое значение m, причем m > 0

3) таких значений m бесконечно много

4) существует ровно два таких значения m

5) таких значений параметра m не существует

12. Все значения параметра a, при которых система уравнений

	x² + y² = 16
	y = 0,75x - a

имеет ровно два различных решения, образуют множество

1) a

( -


	20

;


	20

)

2) a

(- 5; 5)

3) a

( -


	5

;


	5

)

4) a

(-10; 10)

5) a

( -


	10

;


	10

)

13. Если гипербола y =

b

4x

и прямая y = 6 - 4x имеют единственную общую

точку, то b - целое число, остаток от деления которого на 5 равен:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

14. Наименьшее значение функции y = log₃(x²) + log_x81 на промежутке x

(1; +

) лежит в пределах

1) -

< y_min

4,5

2) 4,5 < y_min

5

3) 5 < y_min

5,5

4) 5,5 < y_min

6

5) 6 < y_min

999

15. Разность наибольшего и наименьшего значений функции y = 3 sin²x - 2


	cos²x

равна:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 5

16. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении наименьшего возможного значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, второй член которой относится к сумме всех членов, как 6 : 25

1) 3

2) 5

3) 4

4) 1

5) 2

17. Сколько целых чисел не являются решениями неравенства log₂(x³ - 10x + 17)

0 ?

1) ни одного или одно

2) два

3) три

4) четыре

5) пять или больше пяти

18. Если S - площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и

ординат и отрезком касательной к параболе y =

x²

2

, проведенной через

точку этой параболы с абсциссой x = 2, то

1) 0 < S

1

2) 1 < S

1,2

3) 1,2 < S

1,4

4) 1,4 < S

1,6

5) 1,6 < S < 999

19. Множество всех решений неравенства arcsin(arcsin x) +

p

6

0 является

промежутком, длина которого равна:

1) sin(1) - sin(0,5)

2) 1 + sin(0,5)

3) 1,5

4) 1 - sin(0,5)

5) sin(1) + sin(0,5)

20. Значение выражения (log₂ 27)

(log₃ 125)

(log₅ 4) - целое число, остаток от деления которого на 5 равен:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

21. Площадь фигуры |x - 1| + |x + 1|

y

4 равна:

1) 8

2) 6

3) 10

4) 4

5) 12

22. В треугольнике ABC известны длины сторон |AC| = 5, |BC| =


	65

и угол

A = arccos(-0,6). Найдите длину стороны |AB| и укажите верное утверждение

1) |AB|

(0; 2,5]

2) |AB|

(2,5; 3]

3) |AB|

(3; 3,5]

4) |AB|

(3,5; 4]

5) |AB|

(4; 999)

23. Основания трапеции равны AD = 9 см и BC = 4 см. Боковые стороны трапеции отсекают от прямой, параллельной основанию, отрезок MN, длина которого равна 6 см. Найдите отношение площади трапеции AMND к площади трапеции MBCN

1) 2,4

2) 2,25

3) 2,5

4) 2,75

5) 2,69

24. Если П - произведение всех различных корней уравнения x² - 8x + 11 = 6


	x² - 8x + 3

_,

то П - целое число и остаток от деления числа П на 5 равен

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

25. Если знчение параметра k таково, что уравнение x = kx⁵ + 6 имеет ровно два различных корня, то больший из корней равен

1) 12,5

2) 10

3) 7,5

4) 6

5) 12

26. За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 11 домов. Если Билл повысит свою производительность на 25%, то за 12 дней совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов построят они за 48 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 25%?

1) 22

2) 23

3) 24

4) 25

5) 21

27. Найдите значение параметра b, при котором парабола y = 7x²

и линия y = 2


	b

|x| - 3 имеют ровно две общих точки и

укажите остаток от деления целой части этого значения b на 5:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 0

28. Три положительных числа являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее из них увеличить в два раза, то они станут последовательными членами арифметической прогрессии. Число q, равное знаменателю исходной геометрической прогрессии, принадлежит промежутку:

1) q

(1; 4)

2) q

[4; 5)

3) q

[5; 6)

4) q

[6; 7)

5) q

[7; 999)

29. Множество всех решений неравенства 10

3

(log₃²x)

x³ + x

log₃x

представляет собой промежуток, длина которого равна:

1) 1

2) 2

3) 4

4) 6

5) 8

30. Сколько различных корней имеет уравнение |x

(3 - |x|)| = 3

1) три корня

2) четыре корня

3) корней нет

4) шесть корней

5) два корн