Задачи для школьных учителей и не только.

Желающие индивидуально заниматься математикой (ЦТ, ЕГЭ, SAT, Gmat)
могут связаться со мной по e-mail: bars-minsk@tut.by

Лучший сайт для того, чтобы найти себе задачи по математике- это zaba.ru

Сначала приведем 3 задачи для ЦТ:

Задача 1. Пункт А стоит в поле на расстоянии 10 км от дороги. На дороге, которая является прямой линией, стоит пункт В. Скорость движения автомобиля по дороге в раза больше, чем по полю. Известно, что если ехать из А в В так, что часть пути пройдет по дороге, то даже при самом удачном выборе пути движения на это потребуется не меньше времени, чем если ехать на-прямик по полю. Найти максимально возможное расстояние между А и В.

Решение.Обозначим расстояние от А до В через S, АD = 10. Пусть С – точка, в которой автомобиль выезжает с поля на дорогу. При этом достаточно ограничиться только рассмотрением прямолинейных участков А, так как любой криволинейный путь по полю длиннее отрезка АС и требует большего времени движения. По этим же соображениям можно считать, что С лежит между D и B Обозначим скорость движения по полю через v . Тогда имеем т.е. . Это неравенство справедливо при любых значениях . Обозначим СВ=х. Тогда , а . В этих обозначениях получаем

откуда .

Так как , то обе части неравенства положительны и их можно возвести в квадрат. Находим . Это неравенство должно выполняться при любых х, определяющих положение точки С, т.е. выражение в скобках должно быть неотрицательным, в том числе и при х=0. Поэтому . Отсюда легко находим S<=26.

Ответ: максимально возможное расстояние равно 26 км.

Задача 2. Два друга, у которых есть один велосипед, должны попасть из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40км. Первый передвигается пешком со скоростью 4 км/ч, на велосипеде – 30км/ч. Второй передвигается пешком со скоростью 6 км/ч, на велосипеде – 20км/ч. За какое наименьшее время (в минутах) они смогут оба попасть в пункт В? (Велосипед можно оставлять без присмотра)

Решение
Т.к наименьшее время получится если они приедут в В одновременно, то пусть S1км - расстояние которое 1-й проехал, а S2 - расстояние которое проехал второй. Если они прибыли в В одновременно, то S1/30+(40-S1)/4=S2/20+(40-S2)/6. Кроме того S1+S2=40 (велосипед не должен просаивать!)
Имеем систему, решая которую находим S1=24км и S2=16км. Теперь легко высчитать время.

Ответ: 4+4/5часа=288мин

Задача 3. Повторив один из опытов Архимеда выяснили, что корона, выполненная из сплава золота с серебром весит 2682г, а при полном погружении в воду только 2502г. Определите сколько см3 золота в этой короне, если плотность воды 1г/см3, золота 19,3г/см3, а серебра 10,5г/см3.

Решение
Т.к потеряли 180г, то объем короны – 180см3, а плотность короны равна 2682/180=14,9. Плотность играет роль концентрации!
Ответ: 90 см3

Отделите ежиков от грибов нарисовав всего два прямоугольника.

Взято в сети на penza.fio.ru/personal/21/3/6/S21.htm и еще много где...

Кирпич весит 2 кг и ещё полкирпича. Сколько весят 4 кирпича?
Ответ: 16 килограммов

Кошки съедают трёх мышек за полтора часа. За какое время 10 кошек съедят 20 мышек?
Ответ: 3 кошки за полтора часа съедят трёх мышек; 1 кошка за полтора часа съест одну мышку; 1 кошка за 3 часа съст двух мышек; 10 кошек за 3 часа съедят 20 мышек.

Книжный червь прогрыз себе путь от первого листа первого тома до последнего листа второго тома, стоящего справа от первого. В каждом томе по 600 страниц. Сколько листов прогрыз червь?
Ответ: Ни одного, только переплёты.

Предположим, что земной шар охвачен по экватору обручем, который по длине превосходит экватор на 10 метров. Допустим, что обруч на всем протяжении равно удален от поверхности земли. Как велик промежуток между поверхностью и обручем? Смогла бы, скажем, проползти под обручем муха?

1. Вы участвуете в соревнованиях и обогнали бегуна, занимающего вторую позицию. Какую позицию вы теперь занимаете?

Ответ: Если вы ответили, что вы теперь первый - то вы абсолютно не правы. Вы обогнали второго бегуна и заняли его место, так что вы теперь на второй позиции.

2. Вы обогнали последнего бегуна, на какой позиции вы теперь находитесь?

Ответ: Если вы ответили на предпоследнем - вы опять абсолютно не правы. Подумайте. Как можно обогнать бегуна, идущего последним? Если вы бежите за ним, значит он не последний. Ответ - это невозможно.

Ничего не пишите и не используйте калькулятор, и помните - вы должны отвечать быстро. Возьмите 1000. Прибавьте 40. Прибавьте еще тысячу. Прибавьте 30. Еще 1000. Плюс 20. Плюс 1000. И плюс 10. Что получилось?

Ответ 5000? Опять неверно. Правильный ответ 4100.

У отца Мэри есть пять дочерей: 1. Чача 2. Чече 3. Чичи 4 Чочо. Вопрос: Как зовут пятую дочь? Думайте быстро. Ответ чуть ниже.

Ответ: Чучу? НЕТ! Конечно, ее зовут Мэри. Прочтите еще раз вопрос.

Есть две комнаты. В первой - лампочка. Во второй - три выключателя. Одну комнату из другой не видно вообще. Какой-то выключатель во второй комнате включает лампочку. Нужно определить какой именно, причем, зайдя в комнату где висит лампочка всего один раз.
Ответ: Задача решаема совсем просто: предварительно в комнате с выключателями нужно включить первый выключатель на, для верности, час, выключить его и включить второй, но уже на минуту максимум, выключить его и идти в комнату с лампочкой. Если лампочка нагрелась очень сильно, то это первый; если совсем чуть-чуть, то второй; если совем нет, то третий. Вот и все. Можно так и на четыре выключателя, все зависит от личной чувствительности...

Если вы перегнали в гонке последнего велосипедиста, то на каком месте вы будете?
Ответ: Ни на каком! Как вы можете перегнать последнего, когда в таком случае он перед вами, т.е. вы на последнем месте?

Каждую из пяти шашек передвиньте на одну клетку так, чтобы в итоге в каждом ряду, столбце и по диагоналям находилась одна шашка.
Ответ:

Вставьте в кружочки на рисунке числа от 1 до 7 так, чтобы на каждой прямой сумма чисел равнялась 15. (Решение задачи не единственно).
Ответ:

Заполните пустые клеточки на рисунке числами 2, 4, 8, 12, 16, 18 так, чтобы сумма чисел, соединенных прямыми по всем направлениям, равнялась 30. (Решение задачи не единственно).
Ответ:

Восемь чисел 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 необходимо так расставить по квадратикам, чтобы каждая из четырех сумм (в наружном и внутреннем квадратах, а также по диагоналям) составляла 20.
Ответ:

Числа 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 необходимо расположить в магическом квадрате так, чтобы сумма чисел по каждой вертикали, горизонтали и диагонали была одинакова.
Ответ:

Вставьте числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 в клетки магического квадрата так, чтобы сумма в каждом ряду и столбце равнялась 18.
Ответ:

Из 12 палочек сложили 5 квадратов. Уберите две палочки так, чтобы остались только два разных по величине квадрата.
Ответ:

Переложите одну из палочек так, чтобы равенство было верным:
а) б)
Ответ:

У мальчика сестер столько же, сколько и братьев. Но у каждой сестры братьев в 2 раза больше, чем сестер. Сколько всего детей в семье? Сколько из них мальчиков и сколько девочек?

Как из 45 (сумма, которая составляется из сложения чисел от 1 до 9) вычесть 45, чтобы в итоге получилось... 45?
Ответ:
 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
-
 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
------------------------------------
 8+6+4+1+9+7+5+3+2=45

Волк и заяц соревновались в беге. Каждый шаг зайца был в два раза короче волчьего, но шаги заяц делал в три раза чаще, чем волк. Кто победил в соревновании?
Ответ: За один шаг волк преодолевал расстояние в два заячьих шага. За то же время, когда волк делал один шаг, заяц успевал сделать три шага. Поэтому заяц победил в соревновании.

Петя говорит другу: "Я поймал много больших рыб, а маленьких вдвое меньше. Всего у меня было 16 рыб." Верно ли это?

Крестьянин пришёл к царю с просьбой: “Позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь разрешил. Подходит крестьянин к саду и видит: весь сад обнесён тройным забором. В каждом заборе только одни ворота, и около каждых ворот — сторож. Подошёл крестьянин к первому сторожу и сказал за чем пришёл. “Возьми, но при выходе отдашь половину яблок и ещё одно”, — ответил сторож. То же сказали ему и сторожа, охранявшие вторые и третьи ворота. Сколько яблок нужно взять крестьянину, чтобы, выйти из сада только с одним?
Ответ: Перед внешними воротами у него должно быть 4 яблока, перед вторыми — 10 яблок, перед третьими — 22 яблока.

Составьте примеры с ответом 100. При этом можно пользоваться математическими знаками +, –, ×, / :
а) пять раз цифрой 1 ;
б) четыре раза цифрой 9 ;
в) пять раз цифрой 5 .
Например, "пять раз цифрой 3" : 33×3+3/3 = 100.

В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса?
Ответ: Поскольку за восемь часов 6 человек выпивают бочонок кваса, то за один час такой же бочонок кваса выпьют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок кваса выпьют 16 человек.

Принёс крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: -“Сколько стоит десяток яиц?>> Крестьянин ответил замысловато: “25 яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц”. Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.
Ответ: Так как 25 яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц, то 30 яиц без полушки стоят пять полушек, откуда получаем, что один десяток яиц стоит две полушки или полкопейки.

Воин за первую рану получил вознаграждение в одну копейку, за другую две, за третью 4 копейки и т. д. По окончании службы всего вознаграждения оказалось 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.
Ответ: 16.

Некто продаёт свою лошадь по числу подкованных гвоздей, которых у неё 16. За первый гвоздь он просит копейку, за второй — две, за третий — 4, за четвёртый — 8 и дальше вдвое за каждый следующий. Спрашивается, во сколько он ценит лошадь.
Ответ: 655 рублей 35 копеек.

Двое крестьян поделили между собой 7 рублей, причём один получил на 3 рубля больше другого. Сколько денег досталось каждому из них?
Ответ: Возьмём 3 рубля у того из крестьян, который получил большую часть денег. Тогда сумма в 4 рубля распределится между крестьянами поровну. Значит, меньшая часть разделённых денег составляет два рубля, а тогда большая часть равна пяти рублям.

Вол съел копну за час, конь — за 2, коза — за 3 часа. За сколько бы времени — вол, конь и коза — съели ту копну вместе?
Ответ: За 12 часов вол съест 12 копен, конь — 6, коза —4, всего 22 копны. Поэтому одну копну вол, конь и коза съедят вместе за 6/11 часа.

Весёлый француз пришёл в трактир с неизвестною суммой своего богатства, занял у хозяина столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остатком пришёл в другой трактир, где опять, занявши столько, сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; то же учинил в третьем и четвёртом трактирах. По выходе из четвёртого трактира не имел уже ничего. С какою суммой пришёл он в первый трактир?
Ответ: 93 3/4 копейки.

Некто за три алтына купил сукна три четверти аршина. Сколько алтын стоят 100 аршин?
Ответ: 400 алтын = 1200 копеек = 12 рублей.

http://mozgun.ru/index2.php?id=22

Жена из семейства Головоломкиных отдала мужу сапоги и сказала: "Сходи, продай их за 25 рублей". Головоломкин нашел двух одноногих калек и продал им (каждому по сапогу). Получилось так, что калеки скинулись по 12 с половиной руб. Когда Жена узнала, что сапоги муж продал калекам, попросила Головоломкина отдать 5 рублей им обратно. По дороге Головоломкин пропил 3 рубля, а оставшиеся 2 рубля отдал калекам (по рублю каждому). Получается что калеки потратили по 11 с половиной рублей (в сумме 23) и 3 рубля покоятся в кассе бара. Значит сапоги стоили 23+3=26 рублей. Откуда взялся лишний рубль?
Ответ:

Трое человек прогуливались и зашли в трактир пообедать. Хорошо покушав, они заплатили хозяйке 30 руб. и двинулись дальше. Через некоторое время после того, как они ушли, хозяйка обнаружила, что взяла с путешественников лишние деньги. Хозяйка трактира была честной, она оставила себе 25 руб., а 5 руб. дала Головоломкину и наказала ему догнать путешественников и отдать им эти деньги. Головоломкин бегал очень быстро и скоро догнал этих людей. И тут встал очень интересный вопрос как им разделить 5 руб. на троих? Они взяли каждый по одному рублю, а 2 рубля отдали Головоломкину за его быстроту. Получается, они сначала заплатили за обед по десять руб., но по 1 руб. получили обратно, следовательно, они заплатили: 9*3=27 руб. Да 2 руб. остались у Головоломкина: 27+2=29. Но вначале-то было 30 руб.? Куда делся 1 руб.?
Ответ:

Старый лорд, умирая, разделил наследство между тремя слугами. Каждый получил сумму, пропорциональную времени службы у лорда. Горничная прослужила у него втрое больше, чем домоправительница. А кухарка - вдвое больше, чем горничная. Общая сумма наследства составила 700 тысяч рублей. Сколько денег получила каждая женщина?
Ответ:

Три хозяйки готовили обед на одной печи. Одна положила в огонь 4 полена, а вторая - 7. У третьей хозяйки дров не было, поэтому она дала двум первым 11 копеек. Как по справедливости распределить эти деньги?
Ответ: как ни странно это на первый взгляд надо делить так: 1 и 10 копеек

3 хозяйки приготовили одинаковый обед,каждая из них для своей семьи наодной и тойже русской печке. первая положила 5 одинаковых поленьев;2-я положила 3 полена; 3-я предложила двум другим 8 руб. не дав ни одного полена. Все поленья сгорели полностью.
ВОПРОС:как по справедливости распределить 8 руб. между двумя хозяйками.
Ответ: 1 и 7 рублей

На главную